Théorème des extrema locaux :
Si \(f\) admet un extremum local en \(x_0\), alors \(x_0\) est un point critique de \(f\) : \(f'(x_0)=0\)
(Extremum d’une fonction, Point critique)
Théorème des extrema locaux :
Lorsque \(f'(x_0)=0\), alors...
- Si \(f''(x_0)\leqslant0\), alors \(f\) admet un maximum local en \(x_0\)
- Si \(f''(x_0)\geqslant0\), alors \(f\) admet un minimum local en \(x_0\)
(Dérivées successives, Convexité - Fonction convexe, Maximum local, Minimum local)
Théorème des extrema locaux, caractérisation de Monge :
Soit \(M_0\) un point critique de \(f\)
Si on a \(\Delta=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right)^2-\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\lt 0\) en \(M_0\) et si les dérivées partielles secondes \(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\) et \(\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\) sont toutes deux négatives en \(M_0\), alors \(M_0\) est un maximum global de \(f\)
Théorème des extrema locaux, caractérisation de Monge :
Soit \(M_0\) un point critique de \(f\)
Si on a \(\Delta=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right)^2-\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\lt 0\) en \(M_0\) et si les dérivées partielles secondes \(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\) et \(\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\) sont toutes deux positives en \(M_0\), alors \(M_0\) est un minimum global de \(f\)
Théorème des extrema locaux, caractérisation de Monge :
Soit \(M_0\) un point critique de \(f\)
Si on a \(\Delta=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right)^2-\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\gt 0\) en \(M_0\) et si \(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\neq0\), alors \(M_0\) est un point selle de \(f\)
Théorème des extrema locaux, caractérisation de Monge :
Soit \(M_0\) un point critique de \(f\)
Si on a \(\Delta=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right)^2-\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\gt 0\) en \(M_0\) et si \(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0\), alors \(M_0\) est un point critique dégénéré de \(f\)
Théorème des extrema locaux, caractérisation de Monge :
Soit \(M_0\) un point critique de \(f\)
Si on a \(\Delta=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right)^2-\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0\) en \(M_0\), alors \(M_0\) est un point critique dégénéré de \(f\)
Résumé : $$\begin{array}{c|c|c}\text{en }M_0&\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\geqslant0&\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\leqslant0&\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\neq0&\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0\\ \hline\Delta\lt 0&\text{min local}&\text{max local}&?&?\\ \hline\Delta\gt 0&?&?&\text{ point selle}&\text{dégénéré}\\ \hline\Delta=0&\text{dégénéré}&\text{dégénéré}&\text{dégénéré}&\text{dégénéré}\end{array}$$
(Maximum local, Minimum local, Point selle, Point critique dégénéré)
Preuve : Déterminant de la Matrice Hessienne